Unidad 2

LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN REAL.

2.1 Conceptos preliminares.

- Variación e incremento de una variable. Definición de la derivada de una función por definición. Interpretación geométrica de la derivada.

- Derivada de una función.

Este tutorial explica de manera sencilla el concepto de la derivada, concepto, que tiene que ver con la ecuación de una recta tangente a una curva cualquiera en un punto. Otro de los grandes retos por los cuales se llegó al descubrimiento de la derivada es para encontrar la velocidad instantánea de una partícula cuando el movimiento no es uniforme. Para encontrar la ecuación de una recta tangente a la curva, debemos tener claro qué es. Una recta tangente es una recta que toca en un punto a una curva ligeramente (observar gráfica en el video). En este video se aclara la forma de encontrar una recta en un punto “a” que sea tangente en ese punto. Recordemos que para poder encontrar la ecuación de toda recta necesitamos saber el punto y la pendiente. El punto lo tenemos (a, f(a)). 

La pendiente no la conocemos, pero para encontrarla tendríamos que observar el cambio en “y” y el cambio en “x”, para lo que es necesario conocer dos puntos. La pendiente va a ser igual al cambio de las “y” sobre el cambio de las “x”. Necesitamos que la pendiente de la recta sea la de la tangente, para lo cual debemos ir inclinando la recta hacia la tangente (ver gráfica en video). En síntesis, lo que se está haciendo es encontrar la pendiente de la tangente, que es igual al límite cuando h tiende a cero de f(a+h)-f(a), todo esto dividido sobre h.Finalizando el video se resuelve, mediante un ejemplo práctico, un ejercicio para encontrar la derivada de una función en un punto, teniendo en cuenta que la función nos la dan expresada algebraicamente.

- Derivada de una función parte 2 (problema de la recta tangente).

Este video es continuación de la definición de derivada en un punto como pendiente de una curva en ese punto mediante el uso de límites. Se ilustra la aplicación de la definición en dos ejemplos.

El primer ejemplo es una parábola cuya derivada en el punto existe y por tanto podemos encontrar la ecuación de la recta tangente. El segundo ejemplo es la función valor absoluto, para la cual ilustramos que en el punto (0,0) la derivada no existe y por tanto no es posible encontrar la ecuación de la recta tangente a esta función en ese punto.

- Derivada de una función parte 3 (problema de la recta tangente).

En este video se muestra que la derivada es una función que representa todas las posibles pendientes de las rectas tangentes a una curva para cualquier punto x. Se define finalmente como el límite cuando h tiende a cero del cociente entre en f(x+h)-f(x) y h.

Se ilustra nuevamente con una parábola como encontrar la derivada pero en esta ocasión de forma general y no con respecto a un punto específico. 

En videos anteriores tratamos de encontrar la ecuación de una recta tangente para la función valor absoluto de X en el punto (0,0), y llegamos a la conclusión de que no es posible encontrar dicha ecuación, ya que cuando tratamos de calcular el límite que nos define la pendiente de una tangente vimos que el límite no existe. Desde el punto de vista gráfico, vemos que si pensamos en una recta tangente, por ese punto pasarían infinitas rectas, por lo tanto no podemos encontrar la pendiente en dicho punto, ya que como tenemos infinitas pendientes tenemos infinitas ecuaciones, es decir, no podemos encontrar una sola ecuación que satisfaga. Vemos que cuando tenemos un pico en la gráfica de una función, vamos a decir que en ese pico en particular no existe derivada para esa función, ya que no es posible encontrar una sola recta tangente en ese punto. En este video se busca entender que la derivada no solo es un concepto para aplicar en un punto, sino que puede ser un concepto más general. Una forma inteligente sería encontrar una ecuación que nos permita sustituir cualquier punto perteneciente a la función, sin tener que evaluar muchos puntos. Es decir, en este video lo que se busca explicar es cómo encontrar la derivada general de una función, en cualquier punto X, para lo cual vamos a utilizar la fórmula descrita en videos anteriores: f’(x)= Lim h->0 f(x+h)/h- f(x)/h.

(Cortesía de Tareaplus.com)

- A continuación te dejo la Guía de Ejercicios Nr. 4 sobre Recta Tangente, Derivadas y Diferenciabilidad, tomados del libro de Cálculo de Louis Leithold indicado en la Bibliografía. Las soluciones a estos ejercicios podrás encontrarlas en Solucionario de los ejercicios de la Unidad 2 del libro El Cálculo, Séptima Edición.

2.2 Teoremas sobre derivabilidad.

- Continuidad y derivabilidad.
- Derivabilidad de una función por trozos.
- Derivadas de funciones elementales con argumento simple: Constante, Identidad, Potencial.
- Regla de la Cadena: Parte 1 y Parte 2.
- Notación de Leibniz.
- Derivadas de funciones trigonométricas.
- Derivadas de funciones exponenciales.
- Derivadas de funciones logarítmicas.
- Derivadas de funciones hiperbólicas y sus inversas.
- Derivadas de orden superior.

- A continuación te dejo la Guía de Ejercicios Nr. 5 sobre derivadas de funciones elementales, de funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas e hiperbólicas, tomados del libro de Cálculo de Louis Leithold indicado en la Bibliografía. Las soluciones a estos ejercicios podrás encontrarlas en Solucionario de los ejercicios de la Unidad 2 del libro El Cálculo, Séptima Edición.

- Derivación Implícita: Se empieza con conceptos e ideas claves para entender el método de derivación o diferenciación implícita, pasando a establecer los pasos para obtener la derivada de una función por este método cuando la función viene dada por una ecuación en que la variable dependiente no está despejada. Un ejemplo es desarrollado usando la notación de Leibniz.

- Ejemplos de Derivación Implícita: En el video mostramos dos ejemplos de cómo obtener la derivada, y´, cuando la función viene determinada implícitamente por una ecuación, empleando el método de derivación o diferenciación implícita. Se usa la notación prima ( ' ); se muestra cómo derivar distintos términos y se dan recomendaciones de cómo despejar y´.

- A continuación te dejo la Guía de Ejercicios Nr. 6 sobre Diferenciación Implícita, tomados del libro de Cálculo de Louis Leithold indicado en la Bibliografía. Las soluciones a estos ejercicios podrás encontrarlas en Solucionario de los ejercicios de la Unidad 2 del libro El Cálculo, Séptima Edición.

BIBLIOGRAFÍA Y RECURSOS:

- Louis Leithold (1998). El Cálculo, Séptima Edición; Edición Oxford University Press, Mexico.ISBN: 0-673-46913-1.
- Louis Leithold (1998). Solucionario de los ejercicios de la Unidad 2 del libro El Cálculo, Séptima Edición.
- Louis Leithold (1998). Solucionario de los ejercicios de la Unidad 5 del libro El Cálculo, Séptima Edición.
- Tareasplus.com; http://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/Calculo-Diferencial
- Blog de Cálculo del profesor (Colombia) Julio Rios Gallego: http://julioprofe.net/courses_group/calculo/
- Tabla de Derivadas. (cortesía de la Universidad Autónoma de Madrid).
- Graficadora de Funciones OnLine EXPERYMENTE

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