APLICACIONES DE LA DERIVADA.
3.1 Regla de L'Hôpital. - Teorema de Rolle y de Lagrange.
a. Regla de L'Hôpital parte 1: Concepto y ejemplos de la aplicación de la regla de L'Hôpital para resolver límites indeterminados de la forma cero sobre cero o infinito sobre infinito. Para hacer uso de esta regla se debe garantizar primero que el límite indeterminado si es de la forma 0/0 o infinito sobre infinito o lo que es igual el límite del numerador, de forma independiente, y del denominador son ambos cero o algún infinito (positivo o negativo). Luego se procede a encontrar el límite cuando x tiende al valor original que se pide en límite pero para el cociente f'(x)/g'(x) (la derivada independiente del numerador y del denominador) . Si este último límite existe entonces el límite original será igual al encontrado para f'(x)/g'(x).
b. Regla de L'Hôpital parte 2: Uso de la regla de L'Hôpital para resolver límites con indeterminaciones del tipo cero por infinito. Para poder hacer uso de la regla de l'hopital previamente debe hacerse la transformación del producto en un cociente. Si este cociente genera una indeterminación del tipo 0/0 o infinito sobre infinito se procede a usar dicha regla. Se debe recordar que un producto de la forma a x b puede transformarse en un cociente como a / (1/b) o también como b / (1/a)
c. Regla de L'Hôpital parte 3: Uso de la regla de L'Hôpital para resolver límites con indeterminaciones del tipo infinito menos infinito. En ocasiones nos encontramos con límites de esta forma que a través de diversas transformaciones podemos llevar a un límite indeterminado 0/0 o infinito sobre infinito. Sea mediante racionalización o reduciendo fracciones en caso de existir. Solo cuando poseamos un cociente de cero entre cero o infinito entre infinito podremos hacer uso de la regla.
d. Regla de L'Hôpital parte 4: Método para resolver límites indeterminados de la forma 1 a la infinito y 0 y la cero mediante el uso de la regla de L'Hôpital. Para resolver este tipo de indeterminaciones el procedimiento siempre consiste en nombrar al límite indeterminado mediante una variable y tomar logaritmo natural a ambos lados para eliminar el problema del exponente. Luego se procede a realizar otro artilugio matemático (expresar el nuevo producto del exponente por el logaritmo como un cociente) para tener una indeterminación del tipo 0/0 o infinito sobre infinito para finalmente poder hacer uso de la regla de L'Hôpital.
e. Regla de L'Hôpital parte 5: Método para resolver límites indeterminados de la forma infinito a la ceroPara resolver este tipo de indeterminación el procedimiento consiste en nombrar al límite indeterminado mediante una variable y tomar logaritmo natural a ambos lados para eliminar el problema del exponente. Luego se procede a expresar el nuevo producto del exponente por el logaritmo como un cociente para tener una indeterminación del tipo 0/0 o infinito sobre infinito para finalmente poder hacer uso de la regla de L'Hôpital. Una vez encontrado este límite será igual al Logaritmo natural de la variable que usamos inicialmente en la sustitución, tenemos un resultado de la forma Ln(z) = L donde z=e^L. Z es en este caso el límite que originalmente se pedía.
- A continuación te dejo unos ejercicios resueltos sobre la Regla de L'Hôpital.
Teorema de Rolle: En cálculo diferencial, el teorema de Rolle demuestra la existencia de un punto interior en un intervalo abierto para el cual una función derivable se anula cuando el valor de ésta en los extremos del intervalo es el mismo. Es generalizado mediante el teorema del valor medio, del que este es un caso especial. Es uno de los principales teoremas en cálculo debido a sus aplicaciones.
- A continuación te dejo la Guía de Ejercicios Nr. 7 sobre Teorema de Rolle y Teorema de Lagrange tomados del libro de Cálculo de Louis Leithold indicado en la Bibliografía. Las soluciones a estos ejercicios podrás encontrarlas en Solucionario de los ejercicios de la Unidad 3 del libro El Cálculo, Séptima Edición.
3.2 Definir máximos y mínimos (absolutos y relativos).
- Criterio de la primera y segunda derivada para determinar valores máximos y mínimos relativos (máximos, mínimos, concavidad y puntos de inflexión de una función):
Se explica el concepto de crecimiento y decrecimiento de una función en un intervalo. Se muestra desde el punto de vista gráfico y analítico cuando crece o decrece una función. Se determina que cuando la derivada de la función es positiva para los valores de la variable independiente que hacen parte del intervalo que se analiza entonces la función es creciente en dicho intervalo. En caso que la derivada sea negativa entonces la función será decreciente. El concepto de máximo y mínimo en un intervalo dado se muestra desde el punto de vista gráfico y analítico. Si la derivada de una función es cero o no existe entonces decimos que estamos frente a un valor crítico que podría ser un máximo o mínimo relativo de la función. Si la función crece hasta el valor crítico y luego decrece entonces tenemos un máximo. En caso que sea decreciente y luego creciente tenemos un mínimo. Por último se habla acerca de la concavidad y puntos de inflexión. El criterio de la segunda derivada de una función establece que si esta es negativa en un intervalo la función es cóncava hacia arriba y si es positiva cóncava hacia abajo. En caso de ser cero o no existir tenemos un punto de inflexión o de cambio de concavidad.
3.3 Trazados de curvas, aplicando los criterios de la primera y segunda derivada determinando, monotonía, concavidad y valores extremos de una función de una variable real.
- Problemas de optimización, tangencia, razón de cambio instantánea, velocidad y rapidez entre otros.
Ejemplos máximos, mínimos, concavidad, crecimiento y decrecimiento de una función: Se ilustra con ejemplos como determinar los intervalos de crecimiento o descrecimiento, máximos o mínimos y tipo de concavidad de una función analíticamente.
Para analizar crecimiento y descrecimiento se toma la primera derivada de la función y se analiza donde se hace positiva (crece) o negativa (decrece) mediante el método del cementerio.
Para encontrar los máximos o mínimos se determinaron los valores donde se anula la primera derivada o no existe y se analiza el crecimiento o decrecimiento después de esos puntos, llamados críticos (máximo si primero crece y luego decrece, un mínimo para el caso contrario).
Se calcula luego la segunda derivada de la función y se examina en que intervalo es positiva o negativa. Donde sea negativa se tiene una concavidad hacia arriba y positiva hacia abajo. En el caso de ser cero se tiene un punto de inflexión (cambio de concavidad).
En este video vamos a aplicar los conceptos de crecimiento y decrecimiento de una función, máximo y mínimo de una función, que ya aprendimos en videos anteriores de los tutoriales de cálculo (www.tareasplus.com/calculo-diferencial/). Cuando tenemos una función y nos piden saber dónde la función es creciente, dónde es decreciente, si es cóncava hacia arriba o hacia abajo, si hay un punto de inflexión, si hay un máximo y si hay un mínimo, lo que debemos hacer siempre es partir de la primera derivada. Ahora, para analizar crecimiento o decrecimiento, debemos antes, debemos saber primero dónde se hace cero, y así también sabríamos dónde tiene su valor crítico la derivada. Una vez sepamos el punto donde se anula la función, procedemos a analizar los signos en la recta real, antes y después de dicho número, para saber cuando es mayor a cero o menor que cero (se recomienda para ello utilizar el método de las cruces el cual está explicado en). Cuando es negativa, sabemos que es decreciente, y cuando es positiva es creciente, lo que quiere decir que el punto en el que varía es un mínimo. Luego, si la segunda derivada nos da positiva, quiere decir que la función solo tiene un tipo de concavidad para cualquier valor de x, y como habíamos dicho antes como es positiva la segunda derivada, la función es cóncava hacia arriba. Incluso, si evaluamos en la segunda derivada, vemos que como es una constante positiva, podemos decir que es un mínimo absoluto.
- A continuación te dejo la Guía de Ejercicios Nr. 8 sobre puntos críticos, máximos y mínimos, puntos de inflexión, concavidad tomados del libro de Cálculo de Louis Leithold indicado en la Bibliografía. Las soluciones a estos ejercicios podrás encontrarlas en Solucionario de los ejercicios de la Unidad 3 del libro El Cálculo, Séptima Edición.
- Louis Leithold (1998). El Cálculo, Séptima Edición; Edición Oxford University Press, Mexico.ISBN: 0-673-46913-1.
- Louis Leithold (1998). Solucionario de los ejercicios de la Unidad 3 del libro El Cálculo, Séptima Edición.
- Tareasplus.com; http://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/Calculo-Diferencial
- Web de UNICOOS: http://www.unicoos.com/tema/matematicas/universidad/calculo
- Blog de Cálculo del Prof. Julio Rios Gallego: http://julioprofe.net/courses_group/calculo/
- Graficadora de Funciones OnLine EXPERYMENTE
Recuerda que ya no estás en el Liceo;
"PIENSA Y COMPÓRTATE" ...
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COMO UN PROFESIONAL.
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